comment doit-on demontrer celá : |x+y| < |x|+|y|

On différencie deux cas : 

Cas 1 :    x + y > 0 

|x + y| = x + y 
|x + y|  < |x| + |y|     ⇔   x + y < |x| + |y|

Cas 2 :    x + y < 0 

|x + y| = - (x + y) = -x - y 
|x + y|  < |x| + |y|     ⇔  - x -  y < |x| + |y|

Pour tout x on a bien |x + y| < |x| + |y|