Bonjour, Prenons la fonction g définie sur R par [tex]g(x) = {x}^{2} {e}^{x} [/tex] 1) Exprimer g'(x) en fonction de x. 2) Donner son tableau de signe. 3) En

Réponse :

2) g '(x) = eˣ(x² + 2 x)   or  eˣ > 0  donc le signe de g '(x) dépend du signe de x² + 2 x

       x          - ∞               - 2               0                 + ∞  

   x²+ 2 x                +        0        -       0         +

3) en déduire les variations de la fonction g

         x    - ∞                      - 2                          0                          + ∞    

       g(x)  0 →→→→→→→→→→→ 4/e²→→→→→→→→→ 0 →→→→→→→→→→→→ + ∞

                     croissante               décroissante          croissante  

lim g(x) = lim x²eˣ

x→ - ∞      x→ - ∞

or lim x * x eˣ = - ∞ * 0   FI    car lim xeˣ = 0

   x→ - ∞                                   x→ - ∞

on peut écrire  x² eˣ = x * x * eˣ/2 * eˣ/2 = 4((x/2)*eˣ/2)(x/2)*eˣ/2)

or lim x/2)*eˣ/2 = lim Xe^X = 0    donc par produit  lim g(x) = 0

   x→ - ∞               X→ - ∞                                             x→- ∞

Explications étape par étape