On considère la fonction f telle que f(x)= 2xexp(-x) 1- Donner l'ensemble de définition de f. 2- Calculer les limites de f aux bornes de son ensemble de définit

Réponse :

bonsoir, c'est un exercice classique avec une explication méthodique des étapes à respecter dans l'étude d'une fonnction.

f(x)=2x*e^-x

Explications étape par étape

1)Df=R

2)Limites

si x tend vers -oo , f(x)tend vers -oo*+oo=-oo

si x tend vers +oo, f(x) tend  vers+oo*0+=0+

3 L'axe des abscisses y=0 est une asymptote horizontale

4) Dérivée:   f'(x) est une fonction produit u*v sa dérivée est donc u'v+v'u

u=2x         u'=2  

v=e^-x     v'=-e^-x

f'(x)=2(e^-x)-(e^-x)2x=(e^-x)(-2x+2)=   (-2x+2)e^-x

le signe de f'(x) dépend uniquement du signe de -2x+2

f'(x)=0   pour x=1

Tableau de signes de f'(x) et de variations de f(x)

x    -oo                               1                             +oo

f'(x).....................+...................0................-....................

f(x)-oo.......croi.....................f(1)........décroi...............0+

f(1)=2/e  =0,7 environ

5) Calculons f"(x);  f'(x) est une fonction produit donc même formule que pour passer de f(x) à f'(x)  

f"(x)=-2(e^-x)-(e^-x)(-2x+2)=(e^-x)(2x-4)=(2x-4)e^-x

f"(x) =0 si 2x-4=0 soit x=2

si x<2,   f"(x)<0    donc f(x)   est concave

si x>2,   f"(x)>0   donc   f(x)  est convexe

6)Coordonnées du point d'inflexion( 2  ; f(2))

soit (2; 4/e²)