J'ai déjà des réponses j'aimerais savoir si c'est bon aussi Merci d'avance Dans une réserve, une population initiale de 1 000 animaux évolue ainsi : chaque anné

1)
p0 = 1000
p1 = 1000 x 0,8 + 120 = 920
p2 = 920 x 0,8 + 120 = 856
p3 = 856 x 0,8 + 120 = 804,8

B)

Pour passer d'un terme à l'autre on multiplie le terme précédent par une constante puis on ajoute une autre constante. Pn n'est ni géométrique ni arithmétique, elle est arithmético-géométrique

2) Le nombre d'animaux au début est 1000 donc p0 = 1000
20% des animaux de l'année précédente disparaissent donc on multiplie le nombre d'animaux de l'année précédente par 0,8. On introduit 120 animaux supplémentaire donc on fait +120

D'où : 
[tex]P_n_+_1=0,8p_n+120[/tex]

3)
On va montrer par récurrence que pn > 600
Initialisation : on vérifie pour n= 0
p0 = 1000 
p0 > 600

Hérédité : on suppose que pn > 600, on démontre que p (n+1) > 600
[tex]p_n>600\\ 0,8p_n>480\\ 0,8p_n+120>600\\ p_n_+_1>600[/tex]

D'après l'axiome de récurrence, pn > 600


[tex]p_n_+_1-p_n=0,8p_n+120-p_n = -0,2p_n+120[/tex]

on pose  f(x) = -0,2x + 120
La suite f est décroissante car son coefficient directeur est négatif. 
Par analogie,  la suite pn est elle aussi décroissante

4a)
Vn = Pn - 600
V(n+1) = P(n+1) - 600
V(n+1) = 0,8 Pn + 120 - 600
V(n+1) = 0,8 Pn - 480
V(n+1) = 0,8 (Pn - 600)
V(n+1) = 0,8 Vn

Vn est une suite géométrique de raison 0,8 est de premier terme 
V0 = P0 - 600 = 1000 - 600 = 400

[tex]V_n=400\times0,8^n\\\\ P_n=V_n+600\\ P_n = 400\times0,8^n+600[/tex]

[tex]P_1_0 = 400\times0,8^{10}+600\approx642,9\\ P_2_0 = 400\times0,8^{20}+600\approx604,6\\ P_3_0 = 400\times0,8^{30}+600\approx600,5\\ P_4_0 = 400\times0,8^{40}+600\approx600,05\\ P_5_0 = 400\times0,8^{50}+600\approx600,001\\[/tex]

[tex] \lim_{n \to \infty} P_n =600[/tex]

On en déduit qu'à long terme, la population d'animaux sera de 600 individus.