Bonjour J’ai tenté plusieurs fois de faire cette exercice de math et malheureusement je n’arrive toujours pas a le comprendre, et je souhaiterais obtenir de l’a
Question
J’ai tenté plusieurs fois de faire cette exercice de math et malheureusement je n’arrive toujours pas a le comprendre, et je souhaiterais obtenir de l’aide.
Merci d’avance.
On considère le repère (O ; i, j )
orthonormé. Dans ce repère , on considère les points A ( -3 ; -2 ), B ( 2 ; -1 ), C ( 3 ; 4 ) et D ( -2 ; 3 ) .
1 ) Montrer que le point C est l'image du point D par la translation de vecteur AB . En déduire la nature du quadrilatère ABCD.
2 ) Faire une figure que vous compléterez au fur et à mesure des questions .
3 ) Le point J est le milieu du segment [AD] . Déterminer ses coordonnées.
4 ) Le point k est tel que JK = 1/3 JC . Exprimer DB et DK en fonction de DJ et DC. Que peut - on en déduire ? Expliquer .
5 ) Montrer que le point K a pour coordonnées ( -2/3 ) 5/3 )
6)Le point E est le centre du quadrilatère ABCD . Calculer le déterminant des vecteurs DK et DE Que peut - on en déduire ? Expliquer .
7 ) Calculer les distances AB et AD . Que peut - on en déduire pour le quadrilatère ABCD ?
8 ) Calculer les distances AC et ED . En déduire l'aire du quadrilatère ABCD .
1 Réponse
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1. Réponse Bernie76
Réponse :
Re bonjour
Explications étape par étape
1)
Il faut montrer que :
vect DC=vect AB
En vect :
AB(xB-xA;yB-yA)
Tu vas trouver :
AB(5;1) et DC(5;1)
Donc :
vect AB=vect DC qui prouve que D est .....etc.
Donc ABCD est un parallélogramme.
2)
xJ=(xA+xD)/2 et idem pour yJ.
Tu trouves :
J(-5/2;1/2)
4)
On sait que : JK=(1/3)JC
DB=DA+AB mais DA=2DJ et AB=DC donc :
DB=2DJ+DC
DK=DJ+JK
DK=DJ+(1/3)JC
DK=DJ+(1/3)(JD+DC)
DK=DJ-(1/3)DJ+(1/3)DC
DK=(2/3)DJ+(1/3)DC
Donc :
3DK=2DJ+DC
Donc (en vect) :
DB=3DK
Ce qui prouve que les vecteurs DB et DK sont colinéaires donc que points D, K et B sont alignés.
5)
vect DB(2-(-2);-1-3) soit DB(4;-4)
Or DK=(1/3)DB
donc : DK(4/3;-4/3)
Soit k(xK;yK)
DK(xK-(-2);yK-3) soit DK(xK+2;yK-3)
Donc :
xK+2=4/3 et yK-3=-4/3
xK=4/3-2 et yK=-4/3+3
xK=-2/3 et yK=5/3
Donc : K(-2/3;5/3)
6)
xE=(xD+xB)/2 et idem pour yE.
Tu trouves : E(0;1)
Donc :
DE(2;-2)
On a vu : DK(4/3;-4/3)
det(DK,DE)=2(-4/3)-(-2)(4/3)=-8/3+8/3=0
Comme det(DK,DE)=0 , alors les vecteurs DK et DE sont colinéaires. Et les points D,K et E sont alignés.
7)
on a vu :
AB(5;1) donc AB²=5²+1²=26 ==>AB=√26
AD(-2-(-3);3-(-2)) soit AD(1;5) donc AD²=1²+5²=26 ==>AD=√26
Donc , en mesures : AB=AD
Ce qui prouve que le parallélogramme ABCD est un losange car il a deux côtés consécutifs de même mesure.
8)
Comme ABCD est un losange , ses diagonales sont perpendiculaires .
Donc [DE] est une hauteur du triangle ADC.
AC(3-(-3);4-(-2)) soit AC(6;6) donc AC²=6²+6²=72
Donc AC=√72=√(36 x 2 )=6√2
On a vu que : ED(-2;2) donc ED²=(-2)²+2²=8
donc : ED=√8=√(4x2)=2√2
Aire ABCD=Aire ADC x 2 =[ (AC x DE) / 2 ] x 2= AC x DE
Aire ABCD=6√2 x 2√2=12 x 2=24
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