Exercice 2 Au IX siècle. pour résoudre l'équation 42+ 10x = 39, le mathématicien arabe Al - Khwarizmi utilisait un carré de côté x bordé de deux rectangles de c

Réponse :

Voir schéma

Explications étape par étape

1) En exprimant de deux façons différentes l'aire coloriée , montrer

que, pour tout réel x on a : x2 + 10x = (x + 5)² - 25.

Aire du carré CEHG = x*x = x²

Aire des rectangles EDKH et GHIF = (x*5)*2 = 10x

Aire de la surface coloriée = x² + 10x

Aire du carré HKJI = 5*5 = 25

Aire du carré CDJF = (x+5)(x+5)

Aire de la surface coloriée = aire de CDJF - aire de HKJI

Aire de la surface coloriée = (x+5)(x+5) - 25

On a donc x² + 10x = (x+5)(x+5) - 25

2) En déduire la résolution de l'équation : x² + 10x = 39

On vient de voir que x² + 10x = (x+5)(x+5) - 25

x² + 10x = 39

(x+5)(x+5) - 25 = 39

(x+5)(x+5) = 39 + 25

(x+5)(x+5) = 64

(X+5)² = 64

(x+5) = √64

(x+5) = 8 ou -8 car (-8*-8=64)

donc  

x = 8-5 = 3

et

x = -8-5 = -13

Les solutions de l'équation x² + 10x = 39 sont donc -13 et 3

3) Appliquer la même méthode pour résoudre l'équation x² + 12x = 64

x²+12x=64

x² + 12x = (x+6)(x+6) - 36

(x+6)(x+6) - 36 = 64

(x+6)(x+6) = 64 + 36

(x+6)(x+6) = 100

(x+6)= √100

(x+6) = 10 ou -10 car (-10*-10=100)

donc  

x =10 - 6 = 4

et

x = -10-6 = -16

Les solutions de l'équation x² + 12x = 64 sont donc -16 et 4