C'est pour la question C et D!

Bonjour,

c)
D'après l'encadrement d'α, on sait que cos α ≤ 0 et sin α ≥ 0.
On a tg α = -1, donc
[tex]\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = -1\\ \sin \alpha = -\cos \alpha[/tex]
De plus,
[tex]\sin^2 \alpha +\cos ^2\alpha = 1\\ \cos ^2\alpha +\left(-\cos \alpha\right)^2 = 1\\ 2\cos^2 \alpha = 1\\ \cos^2 \alpha = \frac 12\\ \cos \alpha = -\frac{\sqrt 2}{2}[/tex]
Car cos α ≤ 0
On en déduit :
[tex]\sin \alpha = -\cos \alpha = \frac{\sqrt 2}{2}\\ \cot \alpha = \frac{1}{\tan \alpha} = -1 [/tex]

d)
D'après l'encadrement d'α, on sait que cos α ≤ 0 et sin α ≥ 0.
[tex]\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = -\frac{\sqrt 3}{3}\\ \cos \alpha = -\frac{\sqrt 3}{3} \sin \alpha\\ \cos ^2 \alpha +\sin ^2 \alpha = 1\\ \left(-\frac{\sqrt 3}{3} \sin \alpha\right)^2 +\sin ^2\alpha = 1\\ \frac 13\sin ^2 \alpha+\sin^2 \alpha = 1\\ \frac 43\sin^2 \alpha = 1\\ \sin^2 \alpha = \frac 34\\ \sin \alpha = \sqrt{\frac 34} = \frac{\sqrt 3}{2}\\ \cos \alpha = -\frac{\sqrt 3}{3} \sin \alpha = -\frac 12\\ \tan \alpha = \frac{1}{\cot \alpha} = \frac{1}{-\frac{\sqrt 3}{3}} = -\sqrt 3[/tex]

Si tu as des questions, n'hésite pas ! =)

c) Si l'angle alpha appartient au quadran (pi/2,pi) alors son cosinus est négatif et son sinus positif donc sa tangente négative comme c'est le cas ici car la tangente est égale à -1
Tangente=sinus/cosinus
Donc tgte alpha = -1  implique que sinus alpha=-cosinus alpha
Donc le cosinus et le sinus sont égaux en valeur absolue
L'angle dont le cosinus et le sinus ont la même valeur absolue et qui appartient au cadran(pi/2;pi) est l'angle 3pi/4 radians=135° dont le cosinus=-V2/2  et le sinus=V2/2

d) cotg =-V3/3=cosinus/sinus
Elevons au carré , on a : 3/9=cosinus^2/sinus^2
Donc 1/3=cosinus^2/sinus^2
Donc 3 cosinus^2 alpha=sinus^2 alpha
Donc 3 cosinus^2 alpha=1- cosinus^2 alpha    car cos^2+sin^2=1
Donc 4 cosinus^2 alpha=1
Donc cosinus^2 alpha=1/4
Donc cosinus alpha=1/2    ou cosinus alpha=-1/2
On sait que le cosinus est négatif car alpha appartient à (pi/2;pi)
Donc la seule solution est cosinus alpha=-1/2
Donc sinus alpha=V3/2
Donc la tangent de alpha=(V3/2)/-1/2=-V3
Donc alpha=2pi/3 radians=120°