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Question


Dans la figure ci-contre, ABC est un triangle rectangle en B et tel que AB = 3 et BC = 6
M est un point variable sur le segment [AB]
On considère le point N du segment [AC] et le point P du segment [BC] tels que MNPB est un rectangle.
1) peut on trouver des positions du point M telles que l'aire du triangle MNPB soit égale à 4 ?
Préciser alors la position du point M.
2) peut on trouver des positions du point M telles que l'aire du triangle MNPB soit égale à 6 ?
Préciser alors la position du point M.
3) peut on trouver des positions du point M telles que l'aire du triangle MNPB soit égale à 2 ?
Préciser alors la position du point M.
Dans la figure ci-contre, ABC est un triangle rectangle en B et tel que AB = 3 et BC = 6 M est un point variable sur le segment [AB] On considère le point N du

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1 Réponse

  • 1) Notons AM=x
    L'aire de MNPB est MN*MB
    MB=AB-AM=3-x
    On applique le théorème de Thalès :
    MN/BC=AM/AB donc MN=BC*AM/AB=6*x/3=2x
    Donc l'aire de MNPB=2x*(3-x)
    On cherche x tel que 2x*(3-x)=4
    ⇔x(3-x)=2
    ⇔x²-3x+2=0
    ⇔(x-1)(x-2)=0
    ⇔x-1=0 ou x-2=0
    ⇔x=1 ou x=2
    Donc l'aire de MNPB=4 si AM=1 ou si AM=2

    2) On cherche x tel que 2x*(3-x)=6
    ⇔x(3-x)=3
    ⇔x²-3x+3=0
    Δ=(-3)²-4*1*3=-3<0 donc il n'y a pas de solution.

    3) On cherche x tel que 2x*(3-x)=2
    ⇔x(3-x)=1
    ⇔x²-3x+1=0
    Δ=(-3)²-4*1*1=5.
    Les 2 solutions sont donc x=(3-√5)/2 et x=(3+√5)/2

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