Bonjour, quelqu’un peut m’aider svp je n’y arrive pas: On considère la fonction f dont l'image d'un nombre x est definie par la relation: f(x)= 2x^3 - 3x^2 - x
Question
On considère la fonction f dont l'image d'un nombre x est definie par la relation:
f(x)= 2x^3 - 3x^2 - x + 1
Dans le plan muni d'un repère (0;I;J), on note Cf la courbe
représentative de la fonction f. On note (T) la tangente à la
courbe Cf au point d'abscisse 1.
1/a)Pour tout nombre réel h non-nul établir l'identité:
f(1+h)-f(1)/h=2.h^2+ 3-h-
1
b) Quel est le coefficient directeur de la tangente (T)?
Justifier votre démarche.
2/Déterminer l'équation de la tangente (T) à la courbe Cf.
3/a)Determiner la valeur des réels a, b et c réalisant
l'identité:
f(x) + x = (x-1)(a-x^2+bx+c)
b)En déduire les coordonnées des points d'intersection
de la courbe Cf avec la tangente (T).
1 Réponse
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1. Réponse Bernie76
Réponse :
Bonjour
Explications étape par étape
1)
a)
f(1+h)=2(1+h)³-3(1+h)²-(1+h)+1
f(1+h)=2(1³+3*1²*h+3*1*h²+h³)-3(1+2h+h²)-1-h+1
f(1+h)=2+6h+6h²+2h³-3-6h-3h²-1-h+1
f(1+h)=2h³+3h²-h-1
f(1)=2-3-1+1=-1
f(1+h)-f(1)=2h³+3h²-h-1-(-1)=2h³+3h²-h=h(2h²+3h-1)
[f(1+h)-f(1)] / h=h(2h²+3h-1)/h
On peut simplifier par "h" qui est ≠ 0.
[f(1+h)-f(1)] / h=2h²+3h-1
b)
Coeff directeur de T = limite [f(1+h)-f(1)]/h quand h tend vers zéro.
limite [f(1+h)-f(1)]/h=lim (2h²+3h-1)=-1
h->0 h->0
Donc :
coeff directeur de (T)=-1
2)
Equation de (T) : y=-x+b
T passe par le point (1;-1) donc on peut écrire :
-1=-1+b qui donne :
b=0
Equation de (T) : y=-x
3)
a)
Tu développes :
(x-1)(ax²+bx+c)
A la fin tu trouves :
(x-1)(ax²+bx+c)=ax³+x²(b-a)+x(c-b)-c
f(x)+x=2x³-3x²+1
Par identification entre :
2x³-3x²+1 et ax³+x²(b-a)+x(c-b)-c
on trouve :
a=2
b-a=-3
b=-3+a
b=-3+2
b=-1
c-b=0
c=b
c=-1
-c=1
c=-1
Donc :
f(x)+x=(x-1)(2x²-x-1)
b)
Il nous faut résoudre
f(x)=-x soit :
f(x)+x=0 qui revient à résoudre :
(x-1)(2x²-x-1)=0
x-1=0 OU 2x²-x-1=0
x-1=0 donne x=1 qui correspond au point A.
2x²-x-1=0
x=1 est une racine évidente car : 2*1²-1-1=0.
Donc :
2x²-x-1=(x-1)(ax+b)
On développe à droite :
2x²-x-1=(x-1)(2x+1) ==>Tu peux vérifier !!
Donc :
2x²-x-1=0 revient à résoudre :
(x-1)(2x+1)=0
x-1=0 OU 2x+1=0
x=1 OU x=-1/2
On trouve deux fois la solution x=1 car un point de tangence correspond à 2 solutions identiques.
Comme (T) a pour équation y=-x , le point de (T) d'abscisse -1/2 a pour ordonnée 1/2.
Donc on a 2 points d'intersection de Cf avec (T) :
A(1;-1) et B(-1/2;-1/2)
Voir graph joint pour contôle .
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