bonsoir j'ai besoin d'aide rapidement svp, je n'arrive pas a faire la vérification de l'hérédité U est la suite définie par U0 =10 et pour tout nombre entier na
Mathématiques
liliidu69
Question
bonsoir j'ai besoin d'aide rapidement svp, je n'arrive pas a faire la vérification de l'hérédité
U est la suite définie par U0 =10 et pour tout nombre entier naturel n:
U n+1 = (1/2) Un +1
a) démontrer par récurrence que pour tout nombre entier naturel n, Un supérieur ou égal a 0
b) démontrer par récurrence que la suite U est décroissante
1 Réponse
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1. Réponse editions
Bonsoir
hérédité
supposons Un supérieur à 0 et démontrons qu'alors U(n+1) supérieur à 0.
Un>=0
donc 1/2Un>=0
donc 1/2Un +1>=1
donc 1/2Un +1>=0
donc U(n+1)>=0, donc la propriété est vérifiée.
2)
je te laisse vérifier que U1 est inférieur à U0
supposons que U(n+1)<Un et démontrons qu'alors U(n+2)<U(n+1)
U(n+2)=1/2(1/2Un +1)+1=1/4Un+3/2
U(n+1)<Un
donc 1/2Un +1<Un
donc 1/2Un<Un - 1
donc 1/4Un<1/2Un - 1/2 (on multiplie chaque membre par 1/2)
donc 1/4Un + 3/2<1/2Un - 1/2 +3/2
donc 1/4Un + 3/2<1/2Un +1
donc U(n+2)<U(n+1) donc la propriété est vérifiée