Hello j’espère que vous allez bien :) J’aurais besoin de votre aide, j’ai un exercice de maths mais je suis complètement à la ramasse je n’arrive à rien faire :

Réponse :

Bonjour Caramel , j'espère que tu comprendras mes explications pour cet exercice classique sans difficulté particulière (excepté les risques d'erreurs de calcul).

Explications étape par étape

f(x)=(ax²+bx+c) e^-x

1-a)A(-3; 0) et B(0;3) donc f(-3)=0  et f(0)=3.

1-b)La droite (AB) a pour équation y=mx+p avec m=(yB-yA)/(xB-xA)=3/3=1; elle passe par B(0;3)  donc p=3 d'où l'équation y=x+3. Comme cette droite est la tangente à la courbe en B, f'(xB)= coef.directeur de cette droite,  donc f'(0)=1 .

2) f(x) est de la forme u*v sa dérivée f'(x) est (u'v+v'u)  avec

u=ax²+bx+c     u'=2ax+b

v=e^-x   v'=-e^-x

f'(x)=(2ax+b)(e^-x)-(e^-x)(ax²+bx+c)

on factorise e^-x  donc f'(x)=(e^-x)(-ax²-bx-c+2ax+b)=[-ax²+(2a-b)x+b-c]*e^-x.

On sait que f'(0)=1  donc (b-c)e^0=1  soit     b-c=1    (équation1)

3)On sait que:

f(0)=3 donc c*e^0=c donc     c=3  (équation2)

f(-3)=0 comme e^-x est toujours>0 il faut que ax²+bx+c=0  soit que

9a-3b+c=0 (équation3)

Du système formé par les équations 1,2,3  on tire

c=3 et  b=1+3=4  

on remplace dans l'équation3  ce qui donne: 9a-12+3=0  donc a=1

f(x)=(x²+4x+3)*e^-x (réponse donnée dans la partie B)

Partie B:

1)  Etude de f(x)

a) Domaine de définition  DF=R

b) Limites aux bornes

*si x tend vers -oo, x²+4x+3 tend vers +oo et e^-x tend vers +oo donc f(x) tend vers +oo

*si x tend vers +oo, x²+4x+3 tend vers +oo et e^-x tend vers 0+, compte tenu des croissances comparées f(x) tend vers 0+

c) Dérivée:En utilisant la formule vue dans la partie précédente

f'(x)=(2x+4)(e^-x)-(e^-x)(x²+4x+3)=(-x²-2x+1)(e^-x)

le signe de f'(x) dépend uniquement du signe de -x²+2x+1

On résout -x²-2x+1=0  delta=8 solutions x1=-1-rac2 et x2=-1+rac2

Tableau de signes de f'(x) et de variations de f(x)

x   -oo                         -1-V2                       -1+V2                             +oo

f'(x)............-..........................0...........+..................0................-.........................

f(x)  +oo....décroi.........f(-1-V2)....croi ........f(-1+V2).........décroi...............0+

2) les tangentes // à l'axe des abscisses sont celles donc le coefficient  est nul, soient les solution de f'(x)=0 ce sont les points d'abscisse x1 et x2  pour déterminer les ordonnées de ces points tu calcules

f(-1-V2)=.....     et f(-1+V2)=......  (calculatrice)tu dois trouver des valeurs compatibles avec le tracé de la courbe.

3) Convexité: Il faut déterminer le signe de la dérivée seconde

f'(x)=(-x²-2x+1)e^-x

même méthode que pour f'(x)

f"(x)=(-2x-2)(e^-x)-(e^-x)(-x²-2x+1)=(e^-x)(x²+2x-1-2x-2)=(e^-x)(x²-3)

le signe de  f"(x) dépend du signe de x²-3

x²-3=0   solutions: x3=-rac3 et x4=+rac3

Tableau de convexité

x       -oo                          -V3                          +V3                       +oo

f"(x)  ..........+.........................0...............-................0.................+................

f(x) +oo......convexe.........f(-V3)....concave......f(V3)......convexe.........0+