Dans un plan muni d'un repère (O;0I,0J), les points A et B sont tels que A(2;-1) et B(5;-3). 1. Calculer les coordonnées du point M tel que A soit le milieu du

Réponse :

1) calculer les coordonnées du point M tel que A soit le milieu du segment (BM)

soit  M(x ; y)  et  le point  A(2 ; - 1) est le milieu de (BM)

                     2 = (x + 5)/2   ⇔ 4 = x + 5  ⇔ x = - 1

                    - 1 = (y - 3)/2  ⇔ - 2 = y - 3  ⇔  y = 1

les coordonnées de M sont :  M(- 1 ; 1)

2) calculer les coordonnées du point N symétrique de A par rapport à B

on écrit  B milieu de (AN) :  5 = (x + 2)/2  ⇔ 10 = x + 2  ⇔ x = 8

                                            - 3 = (y - 1)/2  ⇔ - 6 = y - 1  ⇔ y = - 5

les coordonnées de N  sont : N(8 ; - 5)

on peut aussi utiliser une autre méthode (vecteurs)

vec(AB) = vec(BN)

vec(AB) = (5-2 ; - 3+1) = (3 ; - 2)

vec(BN) = (x - 5 ; y + 3)

x - 5 = 3  ⇔ x = 8   et y + 3 = - 2  ⇔ y = - 5

donc on retrouve les mêmes coordonnées de N(8 ; - 5)

3) démontrer que (AB) et (MN) ont même milieu

milieu de (AB) :  x = (5+2)/2 = 7/2

                          y = (- 1 - 3)/2 = - 2

les coordonnées du milieu de (AB) = (7/2 ; - 2)

milieu de (MN) :  x = (- 1+8)/2 = 7/2

                           y = (-5+1)/2 = - 2

les coordonnées du milieu de (MN) = (7/2 ; - 2)

donc les droites (AB) et (MN) ont même milieu    

Explications étape par étape