Je suis en seconde je dois faire cet exo, merci ! (figure ci-dessus) Énoncé : Déterminer l'aire de la zone non achurée (appelé arbelos), sachant que (AB) et (AC

Réponse :

Aire de l' Arbelos = π cm²

Explications étape par étape :

■ AB = AC + CB = 2 r + 2 R = 2(r+R)

■ Aire TOTALE du demi-disque de diamètre [ AB ] :

   π x (AB/2)² / 2 = π x (r+R)² / 2

■ Aire du petit demi-disque hachuré :

  π x r² / 2

■ Aire du moyen demi-disque hachuré :

  π x R² / 2

■ ■ Aire de l' Arbelos :

      π x (r+R)² / 2 - π x r² / 2 - π x R² / 2

     = π x r x R .

■ Pythagore dans ACD :

   (2r)² + 2² = AD²

■ Pythagore dans BCD :

   (2R)² + 2² = BD²

■ Pythagore dans ABD :

             AD² + BD² = 4(r+R)²

   4r² + 4 + 4R² + 4 = 4(r²+2rR+R²)

        4r² + 8 + 4R² = 4r² + 8rR + 4R²

                           1 = rR

   --> on peut prendre r = 0,5 cm et R = 2 cm

■ conclusion :

  avec CD = 2 cm, on obtient Aire de l' Arbelos = π cm² .

■ vérif :

   9,8175 - 0,3927 - 6,2832 = 3,1416

■ remarque :

   on aurait pu aussi prendre r = 0,8 cm et R = 1,25 cm !