On considère la suite (Un), défini pour tout entier naturel par: Uo=1 Un+1=Un+2n+3 Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n, Un>n^2

montrons par récurrence  la propriété que pour tout entier naturel n, Un>n^2

*  pour n = 0
(Uo)² = 1² = 1  et 0² = 0
ainsi   (Uo)²  >  0²
donc la propriété est vraie au rang 0

*  supposons la propriété vraie pour un certain rang n c'est à dire supposons que (Un>n^2 ) et montrons qu'elle est vraie pour le rang n+1

on a Un+1= Un+2n+3   et comme   Un+2n+3 > Un + 2n + 1
donc Un+1 > Un + 2n + 1
   
 on a Un > n^2  
donc  Un + 2n + 1 > n^2 + 2n + 1
et comme  n^2 + 2n + 1 = (n + 1)²
donc Un + 2n + 1 > (n + 1)²

ainsi Un+1 > Un + 2n + 1 devient  Un+1 > (n + 1)²  ( car Un + 2n + 1 > (n + 1)²)
donc La propriété reste donc encore vraie au rang n +1

La propriété Un>n^2 est donc vraie pour tout entier naturel n