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Question

bonjour a tous j'aurai besoin d'aide.  

ci dessous 2 équations de 2 cercle différents

(C1): (x²+8x+16+y²=13)

(C2): (x²+6x+9+y²-10y+25=13)

avec ces 2 équations je doit résoudre un système , permettant de trouver les 2 points en lesquelles ces 2 cercles sont sécants .

j'ai utilisé un logiciel pour connaitre ces 2 points: j'ai trouvé que E=(-6,3) et F=(-1,2) mai s je n'arrive pas a retomber sur ces résultat par calcule pourrai m'aidez svp. merci d'avance

bonjour a tous j'aurai besoin d'aide. ci dessous 2 équations de 2 cercle différents (C1): (x²+8x+16+y²=13) (C2): (x²+6x+9+y²-10y+25=13) avec ces 2 équations je

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1 Réponse

  • Si on transforme les équations des cercles, on fait apparaître les coordonnées de leur centre :
    (C1) : x²+8x+16+y²=13 ⇔ (x+4)²+y²=13
    Le centre K est donc en (-4;0) et le rayon est √13
    (C2) : x²+6x+9+y²-10x+25=13 ⇔ (x+3)²+(y-5)²=13
    Le centre L est donc en (-3;5) et le rayon est √13
    les 2 cercles ont même rayon donc (en reprenant les notations de ton schéma) : EK=EL=FK=FL
    E et F sont donc sur la médiatrice de (KL)
    Le milieu de (KL) est en ((-4-3)/2;5/2) soit (-3,5;2,5).
    Les coordonnées de KL sont (-3-(-4);5-0) soit (1;5). Le coefficient directeur de (KL) est donc 5. Par conséquent, le coefficient directeur de (EF), qui est orthogonale à (KL) est -1/5.
    (EF) est donc de la forme : y=-1/5*x+b.
    Elle passe par (-3,5;2,5), on en déduit que b=2,5-1/5*3,5=1,8
    On a donc (EF) : y=-0,2x+1,8
    On a donc un système :
    (C1) : x²+8x+16+y²=13
    (EF) : y=1,8-0,2x
    On reporte (EF) dans (C1) :
    x²+8x+16-13+(1,8-0,2x)²=0
    x²+8x+3+3,24-0,72x+0,04x²=0
    1,04x²+7,28x+6,24=0
    Δ=7,28²-4*1,04*6,24=27,04
    On a donc 2 solutions :
    x1=(-7,28-√27,04)/2,08=-12,48/2,08=-6
    et
    x2=(-7,28+√27,04)/2,08=-2,08/2,08=-1
    On reporte x1 et x2 dans (EF)
    y1=1,8-0,2*x1=3
    y2=1,8-0,2*x2=2
    On a donc les 2 points d'intersection :
    E(-6;3) et F(-1;2)

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