Bonjour j'ai un dm à faire pour demain pouvez vous m'aider svp On considère la fonction cube F définie sur R par f (x) = x³ et C sa courbe représentative 1) Pou

Réponse :

f(x) = x³   définie sur R

1) pour tout réel a, et tout h ≠ 0

déterminer le taux de variation de la fonction f entre a et a+h

τ(h) = [f(a+h) - f(a)]/h = [(a+h)³ - a³]/h = [(a²+2ah+h²)(a+h) - a³]/h

      = ((a³ + a²h + 2a²h + 2ah² + h²a + h³) - a³)/h

      = ((a³ + 3a²h + 3ah² + h³ - a³)/h

      = (3 a²h + 3 ah² + h³)/h

      = h(3 a² + 3 ah + h²)/h

donc  τ(h) = 3 a² + 3 ah + h²

justifier que f est dérivable en tout réel a et que f '(a) = 3 a²

f est dérivable en tout réel a  ⇔ lim τ(h) = k  (limite finie)

                                                      h→0

lim (3 a²+3 ah + h²) = 3 a²    donc  f  continue et dérivable en tout réel a

h→0

f '(a) = lim τ(h) = 3 a²    donc  f '(a) = 3 a²

          h →0

3) en déduire le nombre dérivé de f en - 2 ; - 1 ; 0 ; 1 et 2

f '(-2) = 3*(-2)² = 12  

f '(-1) = 3*(-1)² = 3

f '(0) = 0

f '(1) = 3

f '(2) = 12

4) f(- 2) = - 8  ⇒ y = f(-2)+ f '(-2)(x + 2) = - 8 + 12(x + 2) = 12 x + 16

   f(-1) = - 1  ⇒ y = - 1 + 3(x + 1) = 3 x + 2

   f(0) = 0   ⇒ y = 0  

   f(1) = 1  ⇒ y = 1 +3(x - 1) = 3 x - 2

   f(2) = 8 ⇒ y = 8 + 12(x - 2) = 12 x - 16

Explications étape par étape