Bonjour, Prenons la fonction g définie sur R par g(x) = x² e^x On a la dérivée de la fonction g: g'(x) = e^x (x² + 2x) 1) Exprimer g''(x) en fonction de x. 2) É

Réponse :

bonsoir tu dois apprendre à dériver une fonction exponentielle  et une fonction produit ou quotient

Explications étape par étape

g(x)=x²*e^x  est une fonction produit type u*v sa dérivée est u'v*v'u

u=x²   u'=2x

v=e^x   v'=e^x

donc g'(x)=2x*e^x  +  x²*e^x=e^x*(x²+2x) donnée dans l'énoncé

par la même méthode on calcule g"(x)

u=x²+2x   u'=2x+2

v=e^x   v'=e^x

g"(x)=(2x+2)e^x+(x²+2x)e^x=(e^x)(x²+4x+2)

le signe de g"(x) dépend uniquement du signe de x²+4x+2

onrésout x²+4x+2=0    delta=8

solutions  x1=(-4-2V2)/2=-2-V2   et x2=(-4+2V2)/2=-2+V2

Tableau

x     -oo                     -4-V2                            -4+V2                            +oo

g"(x)  ..........+.....................0..................-.......................0..............+...................

g(x).......convexe..............I..........concave.................I...........convexe............